حل تمرین صفحه18 ریاضی یازدهم

این معادلات، معادلات دو مربعی (Biquadratic) هستند که با تغییر متغیر $u = x^2$ قابل حل‌اند. ## الف) حل معادله $x^4 - 8x^2 + 8 = 0$ **۱. تغییر متغیر** قرار می‌دهیم $u = x^2$. (باید $u \ge 0$). $$u^2 - 8u + 8 = 0$$ **۲. حل معادلهٔ درجه دوم** با استفاده از فرمول دلتا ($a=1, b=-8, c=8$): $$\Delta = (-8)^2 - 4(1)(8) = 64 - 32 = 32$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$ ریشه‌های $u$: $$u = \frac{-(-8) \pm 4\sqrt{2}}{2(1)} = 4 \pm 2\sqrt{2}$$ هر دو ریشه مثبت‌اند ($4 + 2\sqrt{2} \approx 6.8$ و $4 - 2\sqrt{2} \approx 1.2$). **۳. بازگشت به متغیر اصلی ($x$)** * برای $u_1 = 4 + 2\sqrt{2}$: $$x^2 = 4 + 2\sqrt{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{4 + 2\sqrt{2}}$$ * برای $u_2 = 4 - 2\sqrt{2}$: $$x^2 = 4 - 2\sqrt{2} \Rightarrow x = \pm \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}$$ **ریشه‌های حقیقی**: $$x \in \left\{ -\sqrt{4 + 2\sqrt{2}}, -\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}, \sqrt{4 - 2\sqrt{2}}, \sqrt{4 + 2\sqrt{2}} \right\}$$ --- ## ب) حل معادله $2x^4 + 1 = 5x^2$ **۱. مرتب‌سازی و تغییر متغیر** معادله را به فرم استاندارد دو مربعی می‌آوریم: $2x^4 - 5x^2 + 1 = 0$. قرار می‌دهیم $u = x^2$. ($u \ge 0$). $$2u^2 - 5u + 1 = 0$$ **۲. حل معادلهٔ درجه دوم** با استفاده از فرمول دلتا ($a=2, b=-5, c=1$): $$\Delta = (-5)^2 - 4(2)(1) = 25 - 8 = 17$$ $$\sqrt{\Delta} = \sqrt{17}$$ ریشه‌های $u$: $$u = \frac{-(-5) \pm \sqrt{17}}{2(2)} = \frac{5 \pm \sqrt{17}}{4}$$ هر دو ریشه مثبت‌اند: $u_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$ و $u_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$. **۳. بازگشت به متغیر اصلی ($x$)** * برای $u_1 = \frac{5 + \sqrt{17}}{4}$: $$x = \pm \sqrt{\frac{5 + \sqrt{17}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{5 + \sqrt{17}}}{2}$$ * برای $u_2 = \frac{5 - \sqrt{17}}{4}$: $$x = \pm \sqrt{\frac{5 - \sqrt{17}}{4}} = \pm \frac{\sqrt{5 - \sqrt{17}}}{2}$$ **ریشه‌های حقیقی**: $$x \in \left\{ \pm \frac{\sqrt{5 + \sqrt{17}}}{2}, \pm \frac{\sqrt{5 - \sqrt{17}}}{2} \right\}$$

معادلهٔ درجه دومی که ریشه‌های آن $\alpha$ و $\beta$ هستند، به صورت **$x^2 - Sx + P = 0$** نوشته می‌شود، که در آن $S$ مجموع ریشه‌ها و $P$ حاصل ضرب ریشه‌ها است. ریشه‌ها: $\alpha = 1 - \sqrt{2}$ و $\beta = 1 + \sqrt{2}$. **۱. محاسبهٔ مجموع ریشه‌ها ($S$)** $$S = \alpha + \beta = (1 - \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2}) = 1 + 1 = 2$$ **۲. محاسبهٔ حاصل ضرب ریشه‌ها ($P$)** از اتحاد مزدوج $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ استفاده می‌کنیم: $$P = \alpha\beta = (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2}) = 1^2 - (\sqrt{2})^2 = 1 - 2 = -1$$ **۳. تشکیل معادله** با جایگذاری $S = 2$ و $P = -1$ در $x^2 - Sx + P = 0$: $$x^2 - (2)x + (-1) = 0$$ **معادلهٔ درجه دوم مورد نظر**: $$x^2 - 2x - 1 = 0$$

برای تابع درجه دوم $y = ax^2 + bx + c$، مقدار اکسترمم (ماکزیمم یا مینیمم) در رأس سهمی رخ می‌دهد. طول رأس $x_V = -\frac{b}{2a}$ و مقدار اکسترمم $y_{\text{ext}} = f(x_V)$ است. ## الف) تابع $f(x) = -2x^2 + 8x - 5$ * $a = -2, b = 8, c = -5$. * چون $a = -2 < 0$، سهمی رو به پایین باز می‌شود و تابع دارای **ماکزیمم** است. **۱. محاسبهٔ طول رأس**: $$x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2(-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$$ **۲. محاسبهٔ مقدار ماکزیمم**: $$f_{\text{max}} = f(2) = -2(2)^2 + 8(2) - 5 = -2(4) + 16 - 5 = -8 + 16 - 5 = 3$$ **مقدار ماکزیمم**: $$3$$ --- ## ب) تابع $g(x) = 3x^2 + 6x + 5$ * $a = 3, b = 6, c = 5$. * چون $a = 3 > 0$، سهمی رو به بالا باز می‌شود و تابع دارای **مینیمم** است. **۱. محاسبهٔ طول رأس**: $$x_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(3)} = -\frac{6}{6} = -1$$ **۲. محاسبهٔ مقدار مینیمم**: $$g_{\text{min}} = g(-1) = 3(-1)^2 + 6(-1) + 5 = 3(1) - 6 + 5 = 3 - 6 + 5 = 2$$ **مقدار مینیمم**: $$2$$

معادلهٔ حرکت موشک یک تابع درجه دوم است: $h(t) = -5t^2 + 100t$. ($a=-5, b=100, c=0$). چون $a = -5 < 0$ است، نمودار سهمی رو به پایین باز می‌شود و نقطهٔ اوج همان **نقطهٔ ماکزیمم** است. **الف) زمان رسیدن به بالاترین ارتفاع** زمان رسیدن به بالاترین ارتفاع برابر با **طول رأس ($t_V$)** سهمی است: $$t_V = -\frac{b}{2a} = -\frac{100}{2(-5)} = -\frac{100}{-10} = 10$$ **زمان رسیدن به اوج**: $$10 \text{ ثانیه}$$ **ب) ارتفاع نقطهٔ اوج** ارتفاع نقطهٔ اوج برابر با **مقدار ماکزیمم ($h_{\text{max}}$)** است که در $t=10$ به دست می‌آید: $$h_{\text{max}} = h(10) = 100(10) - 5(10)^2 = 1000 - 5(100) = 1000 - 500 = 500$$ **ارتفاع نقطهٔ اوج**: $$500 \text{ متر}$$ **پ) زمان بازگشت موشک به زمین** بازگشت به زمین یعنی ارتفاع $h(t)$ برابر صفر شود. بنابراین، باید ریشه‌های معادلهٔ $h(t) = 0$ را بیابیم: $$100t - 5t^2 = 0$$ با فاکتورگیری: $$5t(20 - t) = 0$$ دو ریشه به دست می‌آید: * $$t_1 = 0 \quad (\text{زمان پرتاب})$$ * $$20 - t = 0 \Rightarrow t_2 = 20 \quad (\text{زمان بازگشت به زمین})$$ **زمان بازگشت به زمین**: $$20 \text{ ثانیه پس از پرتاب}$$

شکل استادیوم از یک مستطیل به ابعاد $x$ و $y$ و دو نیم‌دایره در دو طرف با قطر $x$ (شعاع $r = \frac{x}{2}$) تشکیل شده است. **محیط استادیوم ($P = 1500$)**: محیط استادیوم شامل دو ضلع $y$ مستطیل و محیط یک دایره کامل به شعاع $r = \frac{x}{2}$ (مجموع دو نیم‌دایره) است: $$P = 2y + 2\pi r = 2y + 2\pi\left(\frac{x}{2}\right) = 2y + \pi x$$ **معادلهٔ قید**: $$2y + \pi x = 1500 \Rightarrow y = 750 - \frac{\pi}{2}x$$ **مساحت استادیوم ($A_{\text{total}}$)**: $$A_{\text{total}} = \text{مساحت مستطیل} + \text{مساحت دایره} = xy + \pi r^2 = xy + \pi\left(\frac{x}{2}\right)^2$$ $$A_{\text{total}} = xy + \frac{\pi}{4}x^2$$ ## الف) حداکثر کردن مساحت مستطیل ($A_{\text{rect}} = xy$) **۱. تابع هدف**: $$A_{\text{rect}}(x) = x\left(750 - \frac{\pi}{2}x\right) = -\frac{\pi}{2}x^2 + 750x$$ این تابع درجه دوم ($a = -\frac{\pi}{2} < 0$) در رأس خود ماکزیمم می‌شود. **۲. یافتن $x$ ماکزیمم**: $$x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{750}{2(-\frac{\pi}{2})} = -\frac{750}{-\pi} = \frac{750}{\pi}$$ **۳. یافتن $y$**: $$y = 750 - \frac{\pi}{2}x_{\text{max}} = 750 - \frac{\pi}{2}\left(\frac{750}{\pi}\right) = 750 - \frac{750}{2} = 750 - 375 = 375$$ **ابعاد برای ماکزیمم کردن مساحت مستطیل**: $$x = \frac{750}{\pi} \text{ متر} \quad (\approx 238.7 \text{ m}) \quad \text{و} \quad y = 375 \text{ متر}$$ --- ## ب) حداکثر کردن مساحت استادیوم ($A_{\text{total}}$) **۱. تابع هدف**: $$A_{\text{total}}(x) = xy + \frac{\pi}{4}x^2$$ با جایگذاری $y$: $$A_{\text{total}}(x) = x\left(750 - \frac{\pi}{2}x\right) + \frac{\pi}{4}x^2 = 750x - \frac{\pi}{2}x^2 + \frac{\pi}{4}x^2$$ $$A_{\text{total}}(x) = 750x + \left(-\frac{2\pi}{4} + \frac{\pi}{4}\right)x^2 = 750x - \frac{\pi}{4}x^2$$ $$A_{\text{total}}(x) = -\frac{\pi}{4}x^2 + 750x$$ این تابع درجه دوم ($a = -\frac{\pi}{4} < 0$) در رأس خود ماکزیمم می‌شود. **۲. یافتن $x$ ماکزیمم**: $$x_{\text{max}} = -\frac{b}{2a} = -\frac{750}{2(-\frac{\pi}{4})} = -\frac{750}{-\frac{\pi}{2}} = 750 \times \frac{2}{\pi} = \frac{1500}{\pi}$$ **۳. یافتن $y$**: $$y = 750 - \frac{\pi}{2}x_{\text{max}} = 750 - \frac{\pi}{2}\left(\frac{1500}{\pi}\right) = 750 - \frac{1500}{2} = 750 - 750 = 0$$ **ابعاد برای ماکزیمم کردن مساحت استادیوم**: $$x = \frac{1500}{\pi} \text{ متر} \quad (\approx 477.5 \text{ m}) \quad \text{و} \quad y = 0 \text{ متر}$$ *(توجه: در این حالت، مساحت مستطیل صفر می‌شود و استادیوم تبدیل به یک دایره کامل می‌شود، که منطقی است، زیرا دایره به ازای یک محیط ثابت بیشترین مساحت را دارد.)*

برای نوشتن ضابطهٔ جبری یک سهمی ($y = ax^2 + bx + c$) از فرم استاندارد رأس ($y = a(x - x_V)^2 + y_V$) و یک نقطهٔ کمکی روی سهمی استفاده می‌کنیم. ## الف) سهمی (الف) * **رأس**: $V(x_V, y_V) = (1, -4)$. * **فرم**: $y = a(x - 1)^2 - 4$. * **نقطهٔ کمکی**: سهمی از مبدأ $(0, 0)$ می‌گذرد. (یا $(3, 0)$). * **محاسبهٔ $a$**: $0 = a(0 - 1)^2 - 4 \Rightarrow 0 = a(1) - 4 \Rightarrow a = 4$. **ضابطه**: $$y = 4(x - 1)^2 - 4$$ ## ب) سهمی (ب) * **رأس**: $V(x_V, y_V) = (3, -1)$. * **فرم**: $y = a(x - 3)^2 - 1$. * **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(0, 2)$ می‌گذرد. * **محاسبهٔ $a$**: $2 = a(0 - 3)^2 - 1 \Rightarrow 2 = 9a - 1 \Rightarrow 3 = 9a \Rightarrow a = \frac{1}{3}$. **ضابطه**: $$y = \frac{1}{3}(x - 3)^2 - 1$$ ## پ) سهمی (پ) * **رأس**: $V(x_V, y_V) = (2, 0)$. (ریشهٔ مضاعف $x=2$) * **فرم**: $y = a(x - 2)^2$. * **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(0, 4)$ می‌گذرد. * **محاسبهٔ $a$**: $4 = a(0 - 2)^2 \Rightarrow 4 = 4a \Rightarrow a = 1$. **ضابطه**: $$y = (x - 2)^2$$ ## ت) سهمی (ت) * **رأس**: $V(x_V, y_V) = (0, 3)$. * **فرم**: $y = a(x - 0)^2 + 3 = ax^2 + 3$. * **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(1, 0)$ می‌گذرد. * **محاسبهٔ $a$**: $0 = a(1)^2 + 3 \Rightarrow 0 = a + 3 \Rightarrow a = -3$. **ضابطه**: $$y = -3x^2 + 3$$ ## ث) سهمی (ث) * **رأس**: $V(x_V, y_V) = S(2, 1)$. * **فرم**: $y = a(x - 2)^2 + 1$. * **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(0, -1)$ می‌گذرد. * **محاسبهٔ $a$**: $-1 = a(0 - 2)^2 + 1 \Rightarrow -1 = 4a + 1 \Rightarrow -2 = 4a \Rightarrow a = -\frac{1}{2}$. **ضابطه**: $$y = -\frac{1}{2}(x - 2)^2 + 1$$ ## ج) سهمی (ج) * **رأس**: $V(x_V, y_V) = (0, -1)$. * **فرم**: $y = a(x - 0)^2 - 1 = ax^2 - 1$. * **نقطهٔ کمکی**: سهمی از $(1, 0)$ می‌گذرد. * **محاسبهٔ $a$**: $0 = a(1)^2 - 1 \Rightarrow 0 = a - 1 \Rightarrow a = 1$. **ضابطه**: $$y = x^2 - 1$$